Hvorfor uendelighed ikke er et almindeligt tal

Det følgende er et uddrag fra Beyond Infinity: En ekspedition til matematikkens ydre grænser , af Eugenia Cheng

Matematik kan tænkes på så mange ting: et sprog, et værktøj, et spil. Det virker måske ikke som et spil, når du prøver at lave dit hjemmearbejde eller bestå en eksamen, men for mig er en af ​​de mest spændende dele af at lave research, når du lige skal starte på noget nyt, og du kommer til at lege med nogle ideer til sjov. Det er lidt ligesom at lege med ingredienser i køkkenet, hvilket er sjovere end at prøve at skrive den opskrift ned, du har opfundet, hvis du vil gentage den. Og det er til gengæld sjovere end at prøve at skrive opskriften ned, så en anden kan gentage.

Jeg vil starte med at lege lidt med tanken om uendelighed, for at frigøre vores hjerner og begynde at udforske, hvad vi tror, ​​der kan være sandt ved det, og hvad konsekvenserne er. Matematik handler om at bruge logik til at forstå ting, og vi vil opdage, at hvis vi ikke er forsigtige med præcis, hvad vi mener med 'uendelighed', så vil logikken føre os til nogle meget mærkelige steder, som vi ikke havde til hensigt at tage hen. . Matematikere starter med at lege med ideer for at få en fornemmelse af, hvad der kan være muligt, godt og dårligt. Da Lego først blev lavet, skal designerne have leget med nogle prototyper først, før de besluttede sig for det vidunderlige endelige design.

[ Matematiker Eugenia Cheng diskuterer uendelighedens komplekse gåder .]

Et matematisk 'legetøj' skal være ligesom Lego: stærkt nok til at kunne bygge ting, men alsidigt nok til at åbne op for mange muligheder. Hvis vi kommer med en prototype for uendelighed, der får noget vigtigt til at kollapse, så må vi tilbage til tegnebrættet. Efter vores første spil går vi tilbage til tegnebrættet flere gange, mens vi bevæger os gennem forskellige måder at tænke på uendelighed, der går galt og får tingene til at kollapse. Når vi endelig kommer til noget, der holder stand, ser det måske ikke ud, som du havde forventet. Og det får nogle ting til at ske, som du måske heller ikke havde forventet, som det mærkelige faktum, at der er forskellige størrelser af uendelighed, så nogle ting er 'mere uendelige' end andre. Dette er et smukt aspekt af enhver form for rejse - at opdage ting, du ikke havde forventet.

I det forrige kapitel listede jeg nogle begyndende ideer om uendelighed.

Betyder det, at uendelighed er en form for tid eller rum? En længde?

Nu ser uendelighed ud til at være en type størrelse. Eller er det noget mere abstrakt: et tal, som vi så kan bruge til at måle tid, rum, længde, størrelse og faktisk alt, hvad vi ønsker? Vores næste tanker ser ud til at behandle uendeligheden, som om den i virkeligheden er et tal.

Dette siger

hvilket kan virke som et meget grundlæggende princip om uendelighed. Hvis uendelighed er det største, der findes, så kan det ikke gøre det større at tilføje én. Eller kan det? Hvad hvis vi så trækker uendeligheden fra begge sider? Hvis vi bruger nogle velkendte regler for annullering, vil dette bare slippe af med uendeligheden på hver side, hvilket efterlader

hvilket er en katastrofe. Noget er åbenbart gået galt. Den næste tanke får flere ting til at gå galt:

Dette synes at være at sige

det er,

og hvis vi nu dividerer begge sider med uendelighed, kan det se ud som om, at vi bare kan annullere uendeligheden på hver side og efterlade

hvilket er endnu en katastrofe. Måske kan du nu gætte, at der vil ske noget forfærdeligt, hvis vi tænker for meget over den sidste idé:

Hvis vi skriver dette ud får vi

og hvis vi dividerer begge sider med uendelighed, udligner en uendelighed på hver side, får vi

hvilket muligvis er det værste, mest forkerte resultat af dem alle. Uendeligheden formodes at være det største, der findes; det er bestemt ikke meningen at det skal være lig med noget så lille som 1.

Beyond Infinity: En ekspedition til matematikkens ydre grænser

Hvad er gået galt? Problemet er, at vi har manipuleret ligninger, som om uendelighed var et almindeligt tal, uden at vide om det er det eller ej. En af de første ting, vi kommer til at se i denne bog, er, hvad uendelighed ikke er, og det er bestemt ikke et almindeligt tal. Vi kommer gradvist til at arbejde os hen imod at finde ud af, hvilken type 'ting' det giver mening for uendelighed at være. Dette er en rejse, der tog matematikere tusinder af år, og som involverede nogle af matematikkens vigtigste udviklinger: mængdeteori og beregning, bare for det første.

Moralen i den historie er, at selvom ideen om uendelighed er ret nem at komme på, skal vi være ret forsigtige med, hvad vi gør med den, for der begynder at ske mærkelige ting. Og det var kun begyndelsen på de mærkelige ting, der kan ske. Vi kommer til at se på alle mulige mærkelige ting, der sker med uendelighed, med uendelige samlinger af ting, hoteller med uendelige værelser, uendelige par sokker, uendelige stier, uendelige småkager. Nogle mærkelige ting er som 1 = 0, ikke bare mærkelige, men uønskede. Så vi forsøger at bygge vores matematiske ideer for at undgå dem. Men andre mærkelige ting modsiger ikke logikken, de modsiger bare det normale liv. Disse mærkelige ting forårsager ikke problemer for vores logik, de forårsager bare problemer for vores fantasi. Men det kan være meget spændende at strække vores fantasi, ligesom skønlitterære forfattere gør, når de skaber en person, der lever uendeligt længe (udødelighed), eller som kan rejse uendeligt hurtigt (teleportation). Og det er ikke bare spændende: det kan kaste nyt lys over vores normale liv. Når karakterer er udødelige i fiktion, ender de ofte med at indse, hvordan livets endelighed faktisk er det, der giver det mening.

Uddrag fra Beyond Infinity: En ekspedition til matematikkens ydre grænser , af Eugenia Cheng. Copyright 2017. Tilgængelig fra Basic Books, et aftryk af Perseus Books, en afdeling af PBG Publishing, LLC, et datterselskab af Hachette Book Group, Inc.